Transformaciones lineales
Transformaciones lineales
ORIENTACIONES
El estudiante
en colaboración con su equipo de estudio presenta un informe que dé cuenta de:
1. Qué es una
transformación lineal
2. Cuáles son
las condiciones para que exista una transformación lineal
3. Al menos
cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales
4. Un ejemplo
de una transformación lineal.
5. Cómo probar
esa transformación lineal.
·
Qué es una
transformación lineal
Una transformación lineal es una función en un espacio
vectorial V y W que trata de representar un vector, un polinomio, una matriz,
entre otros, de una forma a otra, que conserva las propiedades de linealidad de
dichos espacios.
Una transformación lineal, es una función de la forma
T: R que satisfacen N → R ^m
Las siguientes propiedades
- T(u + v) = Tu + Tv, para
todo u, v.
- T(cu) = cT (u) para todo
vector U y todo escalar C
La transformación T manda
combinaciones lineales en combinaciones lineales, es decir
T (c1v1 + c2v2*
..........+ckvk) = c1T(v1) + c2T(v2) + ...... +
ckT(vk).
-Se escribe T: V → W para indicar que T toma el espacio
vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una
función con V como su dominio y su subconjunto de W como su imagen.
-Se escriben indistintamente
Tv y T(v). Detonan lo mismo, las dos se leen "T de v". Esto es
análogo a la notación funcional f (x), que se lee "f de x"
·
Cuáles son las condiciones para que exista una
transformación lineal
Solo es una transformación lineal L = a → b si se cumplen estas dos
condiciones:
-L(a+b) = L(a) + L(b)
-L(ax) = a*L(x)
·
Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones
lineales
Teorema 1
Sea T: V → W una transformación lineal.
Entonces para todos los vectores u, v, v1,v2,….vn,
en V y todos los escalares α1, α2,….
αn:
-T(0) = 0
-T(u-v) = Tu - Tv
-T (α1v1 + α2v2 + ….. αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + …… αnTvn
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B
= {v1, v2, ….vn}. Sean w1, w2, …. wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son
dos transformaciones lineales de V en W tales que
T1vi = T2vi =wi
para i = 1, 2,., n. Entonces para cualquier vector v ϵ V, T1v = T2v;
es decir, T1 = T2.
Teorema
3
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B
= {v1,
v2, ….vn}. Sea W un
espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2,
…. wn.
Entonces existe una transformación lineal única T: V→W tal queTvi = wi
para i 1, 2, …, n.
Teorema 4
Para definir este teorema se deben definir dos conceptos
propios de las transformaciones lineales: imagen y núcleo.
Sea V y W dos espacios vectoriales y sea T: V → W
-El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por:
nu T = {v ϵ V : Tv = 0}
-La imagen de T,
denotado por im Testá dado por:
Im T = {w ϵ W : w = Tv para alguna v ϵ V}
Ahora viene la definición del teorema:
Sea T:V → W es una transformación lineal,
entonces
-nu T es un subespacio de V
-im T es un subespacio de W
Teorema 5
La imagen del vector -v es igual al opuesto de la imagen de
v:
T(-v)=-T(v)
Demostración:
T(-v)=T(-1.v) = -1.T(v)=-T(v)
·
Un ejemplo de una transformación lineal.
Encontrar la transformación L (-2, 3, 4)
1. L ( 1 , 0 , 0 ) = ( - 1 , 2 )
2. L ( 0 , 1 , 0 ) = ( 3 , 1 )
3. L ( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , -1 )
L ( -2, 3, 4) = -2i + 3j + 4k
L ( -2, 3, 4) = -2 (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 4(0, 0, 1)
L ( -2, 3, 4) = -2(-1, 2) + 3(3, 1) + 4(1, 2)
L ( -2, 3, 4) = (15, 7) → Representación
lineal
·
Cómo probar esa transformación lineal.
Ejemplo práctico de transformación lineal (tomado del libro
Algebra lineal. Grossman y flores)
Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos,
de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los
cuatro productos como P
1. P2, P3
P4 y a los materiales
como R1, R2, R3
La tabla muestra el número de unidades de cada materia
prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto.
Surge
una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos,
¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? sean P1, P2,
P3, P4 el
número de artículos fabricados de los cuatro productos y sean R1, R2, R3 el
número de unidades necesario de los tres materiales, entonces se define así:
Por ejemplo, supongamos que
¿Cuántas unidades de R1 se necesitan para producir estos
números de unidades de los cuatro productos? de la tabla se tiene que:
R = P1
• 2 + P2 • 2 + P3 • 3 + P4 • 4, o sea
R1 = 10 • 2 + 30
• 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.
R2 = 10 • 4 + 30
• 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.
R3 = 10 • 3 + 30
• 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.
¡VERIFIQUE LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN EL
DOCUMENTO Y SU VISUALIZACIÓN NORMAL!
Reflexión la realización de esta
actividad me pareció muy interesante conocer más sobre las trasformaciones
lineales y la forma de operase con sus reglas indicadas.
Comentarios
Publicar un comentario