Espacios vectoriales
Espacios vectoriales
1)Qué son los espacios
vectoriales.
En álgebra lineal, un
espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto
no vacío, una operación interna y una operación externa que satisface 8
propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama
vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares
2)Enumere
los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.
Prpropiedad asociativa:
si Ū, ṽ y ŵ son vectores de V, entonces Ū +( ṽ + ŵ)=( Ū + ṽ)+ ŵ
· Existencia
del elemento neutro: existe un vector V,
denominado vector nulo, tal que para cualquier vector Ū de V:Ō + Ū = Ū+ Ō= Ū
· Existencia
del elemento inverso aditivo: para todo vector Ū
de V existe un vector – Ū en V, denominado opuesto de Ū tal que Ū+( Ū) = (-Ū)+
Ū = Ō
· Ley de composición externa: si
A: es cualquier número real y Ū es cualquier vector de V, entonces (A. Ū) está
en V
· Propiedad
distributiva del producto de un escalar por
un vector con respecto a la suma de vector: si A: es cualquier
número real y Ū y ṽ son vectores de V, entonces A*( Ū+ ṽ)=A* Ū+A* ṽ
· Propiedad distributiva del producto de
un escalar por un vector con respecto a la suma de escalares: si A y B son
cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces (A+B)* Ū=A*
Ū+B* Ū
· Asociatividad mixta: si A y B son
cualquier par de escalares y Ū es cualquier vector de V entonces A*(B* Ū)=
(A*B)* Ū=B*(A* Ū)
· Identidad: si Ū es cualquier vector de
V, entonces 1* Ū= Ū
Los axiomas deben ser
válidos para todos los vectores uu, vv y ww en VV y todos los escalares αα y ββ reales.
Llamamos u+vu+v a la suma de vectores en VV, y αvαv al producto de
un número real αα por
un vector v∈Vv∈V.
1. u+v∈Vu+v∈V
2. u+v=v+uu+v=v+u
3. (u+v)+w=u+(v+w)(u+v)+w=u+(v+w)
4. Existe un vector nulo 0V∈V0V∈V tal
que v+0V=vv+0V=v
5. Para cada vv en VV,
existe un opuesto (–v)∈V(–v)∈V tal
que v+(–v)=0Vv+(–v)=0V
6. αv∈Vαv∈V
7. α(u+v)=αu+αvα(u+v)=αu+αv
8. (α+β)v=αv+βv(α+β)v=αv+βv
9. α(βv)=(αβ)vα(βv)=(αβ)v
10. 1v=v
3)Qué
es un subespacio vectorial.
Definición: Un
subconjunto WW de un espacio vectorial VV se denomina subespacio de VV si WW mismo es un
espacio vectorial con los mismos escalares, adición y multiplicación por
escalares que V.V.
Teorema: Sean VV un espacio
vectorial y WW un subconjunto no vacío de VV. Entonces WW es un subespacio
de VV si y sólo si
1. Si u,v∈W,u,v∈W, entonces u+v∈Wu+v∈W,
es decir, WW es cerrado bajo la suma.
2. Si u∈Wu∈W y c∈R,c∈R, entonces cu∈Wcu∈W,
es decir, WW es cerrado bajo el producto por escalar.
4)Enumere
las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio
vectorial e u subespacio.
Sea
H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un
espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar
definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.
ROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL
1). El vector cero de V está en H.2
2). H es cerrado bajo la suma de
vectores. Esto es, para cada u y v en
H, la suma u + v está
en H.
3). H es cerrado bajo la
multiplicación por escalares. Esto es, para cada
u en H y cada escalar c, el vector cu está
en H.
Sea WW un subconjunto
de un espacio vectorial VV (W⊆V)(W⊆V).
WW es subespacio de VV si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0V0V está
en WW.
b. Si uu y vv están en WW, entonces u+vu+v está en WW.
c. Si uu está en WW y kk es un
escalar, kuku está en WW.
Definición. Sea V un
espacio vectorial sobre un campo F. Un subespacio vectorial de V, o
simplemente un subespacio de V, es un
subconjunto no vacío W de V cerrado bajo las operaciones de
suma vectorial y multiplicación escalar de V. En otras
palabras, W es un subespacio de V si se cumplen las
siguientes dos propiedades:
- (Cerradura
de la suma vectorial) Para
cualesquiera u y v elementos de W, se cumple
que u+v está en W.
- (Cerradura
de la multiplicación por escalar) Para cualquier
escalar c en F y vector v en W se
cumple que cv está en W
5)Explique
cuales son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.
Definición:
Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial
a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez
linealmente independiente.
Dimensión
Todas
las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio
•
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que
podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango
que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho
espacio. conjunto de vectores de dicho espacio.
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